Back
Undervejs i introduktionsafsnittet har vi antaget at tingene forholder sig som forventet. Vi har funktionsforskriften for en lineær funktion og den ene konstant bestemmer hvor meget funktionsværdien stiger når x-værdien stiger med 1 og at den anden konstant beskriver begyndelsesværdien. Vi har også fået computeren til at bestemme linjen igennem to punkter. Nu vil jeg fremlægge et par sætninger der beviser hvordan tingene forholder sig, så vi kan være sikre på det og at det også forholder sig sådan ved andre lineære funktioner.

Vækstegenskaber

For en lineær funktion \(f(x)=ax+b\) gælder der at \(a\) bestemmer hvor meget funktionsværdien stiger med hvis x-værdien stiger med 1, dvs. at $$f(x+1)=f(x)+a$$ Hvis x-værdien stiger med et andet tal, h, så skal hældningskoefficienten ganges med det tal, dvs. $$f(x+h)=f(x)+ah$$ Den anden konstant \(b\) bestemmer hvor grafen skærer y-aksen.

Bevis

Lad os starte med at sætte \(x+h\) ind i funktionsforskriften \begin{align} f(x+h)=&a(x+h)+b\\ =&ax+ah+b\\ =&ax+b+ah\\ =&f(x)+ah \end{align} Dernæst ganger vi \(a\) ind i parentesen. Så rykker vi rundt på \(a\) og \(b\) og slår de første par led sammen til funktionsforskriften. Jeg sprang den første formel over, men beviset er identisk med \(h=1\). For at vise at \(b\) er skæringen med y-aksen, observerer jeg at y-aksen har x-værdien \(x=0\) og derfor gælder der at $$f(0)=\cancel{a⋅0}+b=b$$

∎

Det lille kvadrat betyder at nu er beviset færdigt. Disse vækstegenskaber kan også formuleres som $$\Delta y=a\Delta x$$ hvor trekanten er det græske tegn store "delta" og betyder forskel, ændring eller vækst. Altså findes væksten i y-værdien ved at gange væksten i x-værdien med hældningskoefficienten. Dette fører os til den teoretiske bestemmelse af linjen der går igennem to punkter.

To-punktssætningen

For to punkter \(P=(x_1,y_1)\) og \(Q=(x_2,y_2)\) kan man finde den linje det krydser de to punkter ved først at bestemme hældningskoefficienten med følgende formel $$a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ Dernæst kan man bestemme begyndelsesværdien ved at sætte et af punkterne ind i $$b=y-ax$$

Bevis

Den første del af formlen følger oplagt fra den forrige formel, altså $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{a\cancel{\Delta x}}{\cancel{\Delta x}} \implies a=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ men lad os lave et forskelligt argument for at træne bevisførelse. Det at de to punkter ligger på linjen betyder at \begin{align} &&y_1=&ax_1+b\\ &&y_2=&ax_2+b\\ \implies&&y_1-y_2=&ax_1+b-(ax_2+b)\\ &&=&ax_1+\cancel{b}-ax_2-\cancel{b}\\ &&=&a(x_1-x_2)\\ \iff&&\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=&\frac{a\cancel{(x_1-x_2)}}{\cancel{x_1-x_2}} \end{align} Vi kunne lige så godt have trukket det første punkt fra det andet hvilket havde bare byttet rundt på 1-tallene og 2-tallene. Formlen for \(b\) er en oplagt omskrivning af funktionsforskriften $$y=ax+b\iff y-ax=\cancel{ax-ax}+b=b$$

∎

Der er en lineær funktion der har særlig status, kaldt proportionalitet.

Proportionalitet

Proportionalitet er en lineær funktion med begyndelsesværdien \(b=0\), dvs. funktionsforskriften $$f(x)=kx$$ hvor \(k\) kaldes proportionalitetskonstanten, og $$k=\frac{y}{x}$$ Dvs. at forholdet mellem de to størrelser, x og y, er konstant og man skriver \(y∝x\).
Proportionalitetens særlige status skyldes blandt andet at der er rigtig mange sammenhænge i fysik der er proportionale, et objekt der ikke har nogen hastighed har heller ingen kinetisk energi, samme med højde og gravitationel potentiel energi. Hvis man ikke har det ene har man tit heller ikke det andet.

Regression

For at bestemme hvor "god" en regression er har man et par begreber og metoder.

Residualplot

Det første er residualplottet hvor vi laver punkter der består af deres x-værdier og det tilhørende residual, dvs. \((x_i,r_i)\) for \(i=1,2,3,\ldots\). For de tre rejser fra tidligere bliver det \((9,0.54)\), \((10,-0.81)\) og \((13,0.14)\). Det vi så kan gøre er lave et plot ud fra disse residualer Residualer Når vi laver målinger i virkeligheden bliver der altid små afvigelser fra modellen, og det vi bruger residualplottet til er at se om afvigelserne er tilfældige eller ej. Fordi hvis afvigelserne er tilfældige tyder det bare på at det er manglende præcision i vores målinger, evt. sjusk, men hvis der er systematiske afvigelser i residualplottet tyder det på at det er matematikken der er på afveje, evt. at vi har valgt den forkerte model.

\(r^2\)

\(r^2\)-værdien giver et mål for punkternes afstand til modellen. Først beregner man gennemsnittet af y-værdierne fra datasættet $$\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$$ Det mærkelige tegn er det græske tegn store "sigma" hvilket svarer til "S" og står for "sum". Derfor læses regnestykket som at vi lægger alle y-værdierne sammen, fra det første \(i=1\) op til det sidste \(i=n\), og dividerer med antal punkter, \(n\). Dernæst beregner vi residualerne til gennemsnitslinjen, kvadrerer dem, lægger det hele sammen og får $$A_g=\sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2$$ hvilket bliver et mål for hvor langt fra gennemsnittet de forskellige punkter ligger. Nu gør vi præcis det samme for vores regressionslinje og får $$A_r=\sum_{i=1}^n (y_i-f(x_i))^2$$ Nu sammenligner vi de to tal ved trække deres forhold fra 1, dvs. $$r^2=1-\frac{A_r}{A_g}$$ Dette tal er derfor et mål for hvor godt punkterne ligger i forhold vores sammenhæng(regression) i modsætning til ingen sammenhæng(gennemsnittet) og jo bedre sammenhængen er, jo tættere er forholdet på 0 og \(r^2\)-værdien på 1.
Hvis du vil undersøge en mere geometrisk tolkning af linjer kan du læse videre her.