Back

Forestil dig taxaselskab, A, der har en prismodel, dvs. en sammenhæng der bestemmer prisen på en bestemt rejse. Det vil nok ikke overraske den opmærksomme læser at sådan en prismodel vil afhænge af længden på rejsen, dvs. at vi får en funktion $A(x)$ der beskriver prisen på en rejse, hvor $x$ svarer til hvor langt man skal køre. For at bestemme denne prismodel lad os tage et par rejser med prisberegner. Jeg taster ind Ballerup og Bagsværd og får at det er en rejse på 9km til en pris på 230kr. Nu laver jeg en rejse mere fra Ballerup til Albertslund på 10km til en pris på 248kr. Det jeg har fået nu er to punkter, det første er $BB=(9,230)$ og det andet er $BA=(10,248)$ som vi kan sætte ind i et såkaldt koordinatsystem, dvs. hvor vi har to "akser" der er vinkelrette på hindanden. Den første akse lægger vi vandret og kalder x-aksen og den anden bliver så lodret og hedder y-aksen. Det første tal i et punkt fortæller os hvor langt til højre punktet skal ligge fra y-aksen og det andet tal fortæller os langt over x-aksen det skal ligge. Negative tal betyder så at vi går hhv ned og til venstre. Nu har de fleste læsere nok prøvet at tegne en linje mellem to punkter, så lad os prøve at se om vi kan gøre det her. Rejser fra Ballerup

Som i kan se forslår mit program at linjen, der er vores forslag til prismodel kan beskrives ved regnestykket $$y=A(x)=18x+68$$ (den bruger godt nok bogstavet "f", men vi kan kalde det hvad der passer os). De to tal der indgår i regnestykket beskriver henholdsvis kilometer-prisen, dvs. at det koster 18kr. for hver kørt kilometer og at startgebyret er 68 kr., dvs. hvor meget vi skal betale for at sætte os ind i taxaen.

Lineær Funktion

En sammenhæng mellem to størrelser, $x$ og $y$, der kan beskrives ved følgende regnestykke, også kaldt dens "forskrift", $$y=f(x)=ax+b$$ kaldes en lineær funktion og de to tal $a$ og $b$ kaldes hhv. funktionens "hældningskoefficient" og "begyndelsesværdi" eller skæring med y-aksen.

Nu kan vi gå ind på prisberegneren igen og se om prismodellen passer til et tredje punkt, så jeg prøver at lave en rejse til Stenløse på 13km til 307kr. For at se om det passer med vores prismodel laver jeg en geometrisk analyse ved at tegne den lodrette linje $x=13$ og finde skæringen med vores linje
Prisen til Stenløse

Det viser sig at den rigtige pris er 5 kr. højere end det min prismodel forudsiger. Jeg kan også bestemme prisen algebraisk ved at sætte den ind i min funktionsforskrift $$A(13)=18⋅13+68=234+68=302$$ Da den tredje rejse ikke passer, er vores prismodel så totalt ubrugelig? Det er vel en fortolkningssag, men personligt ville jeg sige at prismodellen giver et fornuftigt estimat på prisen. Når vi har fået det tredje punkt på synes jeg dog at vi kan gøre linjen lidt bedre og det kan man gøre ved at lave en såkaldt "lineær regression", der faktisk finder den bedste linje igennem flere punkter. I mit værktøj vælger jeg punkterne og vælger "Best Fit Line", og den giver mig funktionen $$A(x)=19.35x+55.31$$ Man kan også bruge "kommandoen", "fitline({BB,BA,BS})"", eller lave regressionen i et regneark. Som i kan se på de følgende billeder ligger linjen meget tættere på vores tre punkter Regression 1

og den går faktisk imellem vores to første punkter, så nu ligger ingen af vores punkter på linjen. Men spørgsmålet er, hvor meget afviger hvert af punkterne? Lad os prøve at beregne forskellen mellem prismodellens værdi og den faktiske pris. $$230-A(9)=230-(19.35⋅9+55.31)=0.54$$ dvs. at turen til Bagsværd koster 54 øre mere end forventet. $$248-A(10)=248-(19.35⋅10+55.31)=-0.81$$ dvs. at turen til Albertslund koster 81 øre mindre end forventet. $$307-A(13)=307-(19.35⋅13+55.31)=0.14$$ dvs. at turen til Stenløse er gået fra at være 5 kr. dyrere end forventet til kun at være 14 øre dyrere. Alt i alt har vores "bedste linje" gjort at vi rammer lidt ved siden af ved de to første rejser, men den har markant forbedret den tredje. Det vi lige har beregnet er de såkalde "residualer", som er afvigelserne mellem modellen og vores punkter.

Lineær Regression og Residualer

Lineær regression er den process der finder den bedste linje, $f(x)=ax+b$ igennem nogle punkter. For at bestemme den rigtige hældningskoefficient og begyndelsesværdi kan man finde formlen her, men lige nu nøjes vi med at få computeren til at lave regnestykket for os. Residualerne er så de enkelte punkters lodrette afvigelse fra linjen, dvs. at $$r_i=y_i-f(x_i)$$ hvor $i=1,2,3,\ldots$ angiver hvilket punkt der er tale om.

Lad os nu forestille os at det den sidste model er nogenlunde pålidelig for at bestemme prisen for taxeselskabet. Nu skal vi til fest og vi er så ansvarsbevidste at vi vælger at tage kontanter med til taxaturen hjem. Vi tager 100kr. med men kommer til at overveje om det egentlig er nok. For at undersøge dette problem kan vi tage vores model fra tidligere og finde ud af hvornår prisen kommer op på 100 kr. fx. ved at tegne en vandret linje ved $y=100$ og finde skæringen med linjen Løsning af Ligning

Skæringspunktet $A=(2.31,100)$ betyder at vi kan køre 2.31 km for de 100 kr. og hvis vi skal videre må vi gå eller tage flere penge med. Nogle gange er det upraktisk at løse ligningen geometrisk, og man skal også kunne løse ligninger i hånden, så derfor kan man også opstille ligningen algebraisk som $$100=A(x)=19.35x+55.31$$ Løsningen forgår ved at finde de x'er der opfylder den og det sker i praksis ved at manipulere ligningen indtil at x står alene. \begin{align} &&100=&19.35x+55.31\\ \iff&&100-55.31=&19.35x\cancel{+55.31-55.31}\\ \iff&&\frac{44.69}{19.35}=&\frac{\cancel{19.35}x}{\cancel{19.35}}\\ \iff&&x=&\frac{44.69}{19.35}\approx2.31 \end{align} her kan vi igen se at vi kan køre 2.31 km for de 100 kr. Hvis det viser sig at vi ikke har råd til vores tur kan det være at vi skal vælge et andet taxaselskab. Jeg har fundet et andet selskab der hedder Drivr, hvor kilometerprisen er 15 kr. og startgebyret er 70 kr. og for at sammenligne dem finder skæringspunktet mellem deres grafer. Det er ret oplagt at gøre geometrisk hvor vi tegner graferne for de to selskaber og bruger vores matematikværktøj til at finde det for os Sammenligning

Det viser sig at skæringspunktet er $(3.38,120.71)$ hvilket betyder at de to taxaselskaber koster 120.71 kr. ved 3.38 km og at hvis man kører kortere er Taxa 4x35 billigere, ellers er Drivr. Igen kan man bestemme skæringspunktet algebraisk, ved at sætte deres prismodeller lig med hinanden \begin{align} &&19.35x+55.31=&15x+70\\ \iff&&19.35x+\cancel{55.31-55.31}-15x=&\cancel{15x}+70-55.31-\cancel{15x}\\ \iff&&\frac{\cancel{4.35}x}{\cancel{4.35}}=&\frac{14.69}{4.35}\\ \iff&&x=&\frac{14.69}{4.35}\approx3.38 \end{align} Det bekræfter igen vores geometriske løsning og hvis vi er interesseret i prisen ved den rejse skal vi sætte værdien ind i en af de to prismodeller.
For at undersøge teorien bag lineære modeller mere grundigt kan du læse videre her. Hvis du vil undersøge en mere geometrisk tolkning af linjer kan du læse videre her.